Gravedad, Leyes de Kepler y Ley de la gravitación unviersal de Newton

¿Quién fue Johannes Kepler?

Kepler fue un astrónomo y matemático alemán que enunció las conocidas Leyes de Kepler. Analizando matemáticamente los datos de Tycho Brahe, enunció tres leyes empíricas relativas al movimiento de los planetas alrededor del Sol, que describen exactamente el sistema solar tal y como lo conocemos en la actualidad.

Pero… ¿de qué vamos a hablar? Una explicación muy sencilla la encontrarás en este vídeo de QuantumFracture, “Las Leyes de Kepler en 2 minutos”

Leyes de Kepler

Tycho Brahe estudio los movimientos de los planetas e hizo observaciones significativamente más exactas que las que se habían realizado anteriormente. Utilizando estos datos, Kepler enunció sus tres leyes:

Ley 1: todos los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol situado en un foco

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos llamados focos F es constante. Las características de una elipse son:

• r₁ + r₂ siempre es constante.
• La distancia a es e lsemieje mayor, y la distancia b el semieje menor.
• El círculo es un caso especial de elipse en el que los dos focos coinciden en un mismo punto.

En la imagen inferior tenemos una trayectoria elíptica de un planeta, con el Sol en un foco. El perihelio (punto P) es el punto más próximo del planeta al Sol, mientras que el afelio (punto A) es el punto más lejano. La distancia media entre el planeta y el Sol (r_p+r_a/2) es igual al semieje mayor.

En el sistema Tierra-Sol, el semieje mayor (semisuma de afelio y perihelio) vale 1,50 x 10¹¹ m, que es la distancia media Tierra-Sol y define la unidad astronómica UA.

1 UA = 1,50 x 10¹¹ m

Ley 2: La recta que une cualquier planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales

A la segunda ley de Kepler también se le conoce como la ley de las áreas iguales. Un planeta se mueve más rápido si está más cercano al Sol que cuando esta más lejos. Así, el área barrida en un determinado intervalo de tiempo es la misma a lo largo de toda la órbita.

Ley 3: El cuadrado del periodo de cualquier planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita

Esta ley relaciona el periodo de un planeta con su distancia media al Sol, que es igual al semieje mayor de su órbita elíptica. Si r es la distancia media entre un planeta y el Sol y T es el periodo de revolución del planeta:

T² = Cr³

Esta ley muestra la relación entre los tamaños de las órbitas y el tiempo que emplea cada planeta en recorrerlas. Mediante esta ley podemos calcular la velocidad de un planeta si conocemos su distancia al Sol, y viceversa. C es una constante que tiene el mismo valor para todos los planetas. Puesto que conocemos r y T de la Tierra, y C es constante, podemos utilizarlo para calcular los datos de el resto de planetas.

Doodle Leyes de Kepler

Cuando tenemos que explicar las leyes de Kepler en nuestra academia de Oviedo, recurrimos a los Doodle o apuntes visuales.

Ley de la Gravitación de Newton

En 1686 Newton formuló matemáticamente la expresión de la fuerza de atracción gravitatoria que se ejercen dos partículas, conocida como la ley de la gravitación universal.

“Dos partículas materiales cualesquiera del universo se atraen entre sí con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”

Supongamos que tenemos dos partículas puntuales 1 y 2, situadas en las posiciones r₁ y r₂, y que r_1,2 es el vector que apunta desde la partícula 1 a la partícula 2.

F₁₂ es la fuerza que la partícula 1 ejerce sobre la partícula 2, mientras que F₂₁ es la fuerza que ejerce la partícula 2 sobre la partícula 1, mientras que G es la constante de gravitación universal, que vale:

G = 6,67 x 10_^-11 N · m²/kg²

Con estos datos podemos extraer las siguientes conclusiones:

• La masa es la propiedad de la materia que origina la existencia de fuerzas gravitatorias atractivas entre los cuerpos.
• El signo negativo de la expresión matemática indica que la fuerza gravitatoria tiene sentido contrario al vector unitario, es de carácter atractivo.
• La constante de proporcionalidad, G, o constante de gravitación universal, tiene el mismo valor en cualquier lugar del universo.
• Este valor tan pequeño de G explica por qué las fuerzas gravitatorias son de escasa intensidad entre cuerpos de masas relativamente pequeñas, y de gran intensidad entre cuerpos de gran masa, como planetas, satélites…

De acuerdo con la tercera ley de Newton, la fuerza F_2,1 ejercida por 2 sobre 1 es la opuesta a la fuerza F_1,2. El módulo de la fuerza gravitatoria ejercida por una partícula de masa m₁ sobre otra partícula de masa m₂ a una distancia r viene dada por: