Tabla de contenidos
Si en la relación de proporcionalidad intervienen más de dos magnitudes, nos encontramos antes una relación de proporcionalidad compuesta.
Secuencia de trabajo para resolver los ejercicios:
- Primero identificamos las magnitudes, los datos y la incógnita. Los ordenamos en una tabla, donde en cada columna ponemos una magnitud. Personalmente, recomiendo situar la incógnita en la columna central, pero el orden es indiferente.
- Evaluamos la relación de proporcionalidad entre la incógnita y las otras magnitudes.
- Resolvemos la igualdad planteando las fracciones, teniendo en cuenta que si alguna magnitud presenta una relación de proporcionalidad inversa debemos invertirla.
Veamos diferentes situaciones, primero con la exposición teórica y después con un ejemplo. Al final encontrarás varios ejercicios resueltos y explicados en detalle.
Proporcionalidad compuesta donde todas las magnitudes presentan relación de proporcionalidad directa
Exposición teórica.
➡ Primero identificamos las magnitudes (magnitud 1, magnitud 2, magnitud 3), los datos (a-b-c-, a’-b’-c’) y la incógnita (b’=x) y los ordenamos en una tabla.
➡ Evaluamos la relación de proporcionalidad entre la incógnita y las otras magnitudes.
- Manteniendo la magnitud 1 constante, la magnitud 2 aumenta proporcionalmente a la magnitud 3. La relación de proporcionalidad es directa.
- Manteniendo la magnitud 3 constante, la magnitud 2 aumenta proporcionalmente a la magnitud 1. La relación de proporcionalidad es directa.
➡ Resolvemos la igualdad planteando las fracciones.
➡ Despejamos la incógnita multiplicando en cruz:
Ejemplo.
Un granjero ha necesitado 294 kilos de pienso para alimentar a 15 vacas durante una semana. ¿Cuántos kilos de pienso se necesitará para alimentar a 10 vacas durante 30 días?
➡ Primero identificamos las magnitudes (kilos de pienso, número de vacas, días), los datos (294 kg de pienso-15 vacas-7 días; 10 vacas-30 días) y la incógnita (kg de pienso) y los ordenamos en una tabla.
➡ Evaluamos la relación de proporcionalidad entre la incógnita y las otras magnitudes.
- Manteniendo el número de vacas constante, a más kg de pienso tengamos más días podremos alimentar a las vacas. La relación de proporcionalidad es directa.
- Manteniendo el número de días constante, a más kg de pienso más vacas podremos alimentar. La relación de proporcionalidad es directa.
➡ Resolvemos la igualdad planteando las fracciones.
➡ Despejamos la incógnita multiplicando en cruz:
El granjero necesita 840 kilos de pienso para alimentar durante 30 días a 10 vacas.
Proporcionalidad compuesta donde todas las magnitudes presentan relación de proporcionalidad inversa
Exposición teórica.
➡ Primero identificamos las magnitudes (magnitud 1, magnitud 2, magnitud 3), los datos (a-b-c-, a’-b’-c’) y la incógnita (b’=x) y los ordenamos en una tabla.
➡ Evaluamos la relación de proporcionalidad entre la incógnita y las otras magnitudes.
- Manteniendo la magnitud 1 constante, la magnitud 2 aumenta proporcionalmente a la magnitud 3. La relación de proporcionalidad es directa.
- Manteniendo la magnitud 3 constante, la magnitud 2 aumenta proporcionalmente a la magnitud 1. La relación de proporcionalidad es directa.
➡ Resolvemos la igualdad planteando las fracciones.
➡ Despejamos la incógnita multiplicando en cruz:
Ejemplo
Para llenar una piscina se utilizan tres mangueras que lanzan 2 litros por minuto cada una y tardan 6 horas en llenarla. ¿Cuánto tiempo tardarán 4 mangueras similares que lanzan 5 litros por minuto cada una?
➡ Primero identificamos las magnitudes (mangueras, horas, litros), los datos ( 3 mangueras-6 horas-2 litros; 4 mangueras-5 litros) y la incógnita (horas=x) y los ordenamos en una tabla.
➡ Evaluamos la relación de proporcionalidad entre la incógnita y las otras magnitudes.
- Manteniendo el número de mangueras constante, necesitaremos menos horas para llenar la piscina a más litros expulsen las mangueras. La relación de proporcionalidad es inversa.
- Manteniendo la cantidad de litros constante, necesitaremos menos horas para llenar la piscina según más mangueras tengamos. La relación de proporcionalidad es inversa.
➡ Resolvemos la igualdad planteando las fracciones, teniendo en cuenta que las fracciones correspondientes a las magnitudes 1 y 3 debemos invertirlas por presentar relación de proporcionalidad inversa con la incógnita.
➡ Despejamos la incógnita multiplicando en cruz:
Si tenemos 4 mangueras que expulsan 5 litros por minuto necesitaremos 1,8 horas para llenar la piscina.
Proporcionalidad compuesta donde una magnitud presenta relación de proporcionalidad directa y la otra inversa
Exposición teórica.
➡ Primero identificamos las magnitudes (magnitud 1, magnitud 2, magnitud 3), los datos (a-b-c-, a’-b’-c’) y la incógnita (b’=x) y los ordenamos en una tabla.
➡ Evaluamos la relación de proporcionalidad entre la incógnita y las otras magnitudes.
- Manteniendo la magnitud 1 constante, la magnitud 2 aumenta proporcionalmente a la magnitud 3. La relación de proporcionalidad es directa.
- Manteniendo la magnitud 3 constante, la magnitud 2 disminuye proporcionalmente según aumentamos la magnitud 1. La relación de proporcionalidad es inversa.
➡ Resolvemos la igualdad planteando las fracciones, teniendo en cuenta que la fracción correspondiente a la magnitud 3 debemos invertirla por presentar relación de proporcionalidad inversa con la incógnita.
➡ Despejamos la incógnita multiplicando en cruz:
Ejemplo:
Una cuadrilla de albañiles, trabajando 8 horas diarias, construye 400 metros cuadrados de pared en 15 días. ¿Cuánto tardaría la misma cuadrilla en construir 600 metros cuadrados de pared, si decide trabajar 10 horas al día?
➡ Primero identificamos las magnitudes (Metros de pared, días de trabajo y horas de trabajo al día), los datos (400 metros – 15 días – 8 horas; 600 metros – 10 horas) y la incógnita (días) y los ordenamos en una tabla.
➡ Evaluamos la relación de proporcionalidad entre la incógnita y las otras magnitudes.
- Manteniendo los metros de pared constantes, a más horas trabajemos al día menos días necesitaremos para construirla. La relación de proporcionalidad es inversa.
- Manteniendo el número de horas constante, a más metros tenga la pared más días necesitaremos para construirla. La relación de proporcionalidad es directa.
➡ Resolvemos la igualdad planteando las fracciones, teniendo en cuenta que la fracción correspondiente a la magnitud metros debemos invertirla por presentar relación de proporcionalidad inversa con la incógnita.
➡ Despejamos la incógnita multiplicando en cruz:
Para construir una pared de 600 metros trabajando 10 horas al día la cuadrilla de obreros necesitará 18 días de trabajo.
Ejercicios resueltos: Proporcionalidad compuesta donde todas las magnitudes presentan relación de proporcionalidad directa
Ejercicio.
Durante 30 días seis obreros han canalizado 150 metros de tubería para suministro de agua. Calcula cuántos metros canalizarán catorce obreros en 24 días.
➡ Primero identificamos las magnitudes (número de obreros, metros de tubería y días de trabajo), los datos (6 obreros – 150 m – 30 días; 14 obreros – 24 días) y la incógnita (metros) y los ordenamos en una tabla.
➡ Evaluamos la relación de proporcionalidad entre la incógnita y las otras magnitudes.
- Manteniendo el número de obreros constante, a más días trabajen más metros canalizarán. La relación de proporcionalidad es directa.
- Manteniendo el número de días de trabajo constante, a más obreros haya trabajando más metros canalizarán. La relación de proporcionalidad es directa.
➡ Resolvemos la igualdad planteando las fracciones.
➡ Despejamos la incógnita multiplicando en cruz:
Catorce obreros trabajando 24 días canalizarán 280 metros de tubería.
Ejercicio.
El precio por transportar 1500 kg de mercancía a una distancia de 100 km es de 80 euros. ¿Qué precio se pagará por transportar 4500 kg a 250 km?
➡ Primero identificamos las magnitudes (peso de la carga, precio y distancia), los datos (1500 kg-80€-100 km; 4500 kg-250 km) y la incógnita (precio) y los ordenamos en una tabla.
➡ Evaluamos la relación de proporcionalidad entre la incógnita y las otras magnitudes.
- Manteniendo el peso de la carga constante, a más distancia más dinero costará el transporte. La relación de proporcionalidad es directa.
- Manteniendo la distancia constante, a más pese la carga más dinero tendremos que pagar. La relación de proporcionalidad es directa.
➡ Resolvemos la igualdad planteando las fracciones.
➡ Despejamos la incógnita multiplicando en cruz:
Transportar una carga de 4500 kg a una distancia de 250 km nos costará 600 euros.
Ejercicio.
Ocho grifos abiertos 12 horas diarias han vertido agua por valor de 24 euros. ¿Qué coste de agua se tendrá con 12 grifos abiertos 15 horas diarias durante el mismo período de tiempo?
➡ Primero identificamos las magnitudes (número de grifos, precio y horas que están abiertos), los datos (8 grifos-24€-12 horas; 12 grifos-15 horas) y la incógnita (precio) y los ordenamos en una tabla.
➡ Evaluamos la relación de proporcionalidad entre la incógnita y las otras magnitudes.
- Manteniendo constante el número de grifos, a más tiempo tengamos los grifos abiertos más dinero tenemos que pagar. La relación de proporcionalidad es directa.
- Manteniendo el tiempo que están abiertos constantes, a más número de grifos más alta será la factura del agua. La relación de proporcionalidad es directa.
➡ Resolvemos la igualdad planteando las fracciones.
➡ Despejamos la incógnita multiplicando en cruz:
Si tenemos 12 grifos abiertos durante 15 horas al día pagaremos una factura de 45 euros.
Ejercicios resueltos: Proporcionalidad compuesta todas las magnitudes presentan relación de proporcionalidad inversa
Ejercicio.
Una persona lee 2 horas diarias a razón de 5 páginas por hora, y tarda 15 días en leer un libro. Si leyese 3 horas diarias a razón de 8 páginas por hora. ¿Cuántos días tardaría en leer al mismo libro? Expresa el resultado en días y horas.
➡ Primero identificamos las magnitudes (horas de lectura diarias-días de lectura-páginas por hora), los datos (2 horas-15 días-5 páginas; 3 horas-8 páginas) y la incógnita (días de lectura) y los ordenamos en una tabla.
➡ Evaluamos la relación de proporcionalidad entre la incógnita y las otras magnitudes.
- Manteniendo constantes las horas de lectura diarias, a más páginas lea cada hora menos tardará en leerse el mismo libro. La relación de proporcionalidad es inversa.
- Manteniendo las páginas que lee cada hora constantes, a más horas de lectura haga cada día menos días tardará en leerse el mismo libro. La relación de proporcionalidad es inversa.
➡ Resolvemos la igualdad planteando las fracciones, teniendo en cuenta que las fracciones correspondientes a las magnitudes horas de lectura y páginas por hoja debemos invertirlas por presentar relación de proporcionalidad inversa con la incógnita.
➡ Despejamos la incógnita multiplicando en cruz:
Tardaremos en leer el libro 6 días y 6 horas.
Ejercicio.
Para hacer una obra en 360 días hacen falta 30 obreros trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días duraría la misma obra si hubiese 40 obreros trabajando 6 horas diarias?
➡ Primero identificamos las magnitudes (número de obreros-días de trabajo-horas de trabajo diarias), los datos (30 obreros-360 días-8 horas) y la incógnita (días) y los ordenamos en una tabla.
➡ Evaluamos la relación de proporcionalidad entre la incógnita y las otras magnitudes.
- Manteniendo el número de obreros constante, a más horas al día trabajen menos días tardarán en terminar la obra. La relación de proporcionalidad es inversa.
- Manteniendo las horas de trabajo diarias constantes, a más obreros trabajen menos días tardarán en terminar la obra. La relación de proporcionalidad es inversa.
➡ Resolvemos la igualdad planteando las fracciones, teniendo en cuenta que las fracciones correspondientes a las magnitudes obreros y horas de trabajo al día debemos invertirlas por presentar relación de proporcionalidad inversa con la incógnita.
➡ Despejamos la incógnita multiplicando en cruz:
40 obreros trabajando 6 horas al día tardarán 360 días en terminar la obra. Es decir, tardarán lo mismo que 30 obreros trabajando 8 horas al día.
Ejercicio.
En un barco una tripulación de 400 personas tiene provisiones para 63 días tomando una ración diaria de 1960 kg. Si la tripulación desciende a 140 personas, ¿Qué ración correspondería a cada persona para que las provisiones durasen 80 días?
➡ Primero identificamos las magnitudes (Nº de personas-kg de ración-días), los datos (400 personas-1960 kg-63 días;140 personas-80 días) y la incógnita (ración) y los ordenamos en una tabla.
➡ Evaluamos la relación de proporcionalidad entre la incógnita y las otras magnitudes.
- Manteniendo el número de personas constante, a más días tengamos que alimentar a la tripulación menor será el tamaño de la ración diaria. La relación de proporcionalidad es inversa.
- Manteniendo el número de días constante, a más personas tengamos que alimentar menor será el tamaño de la ración diaria. La relación de proporcionalidad es inversa.
➡ Resolvemos la igualdad planteando las fracciones, teniendo en cuenta que las fracciones correspondientes a las magnitudes nº de personas y días debemos invertirlas por presentar relación de proporcionalidad inversa con la incógnita.
➡ Despejamos la incógnita multiplicando en cruz:
Si la tripulación son 140 personas y tenemos que alimentarlas 80 días la ración será de 441 kg.
Ejercicios resueltos: Proporcionalidad compuesta donde una magnitud presenta relación inversa y la otra directa
Ejercicio.
Los gastos de alimentación de 135 personas suponen 2250 euros diarios. Calcula cuántas personas podrán alimentarse durante 90 días con 12000 euros.
➡ Primero identificamos las magnitudes (gastos (€)-nº personas-días), los datos (2250 € – 135 personas – 1 día; 12000 € – 90 días) y la incógnita (nº de personas) y los ordenamos en una tabla.
➡ Evaluamos la relación de proporcionalidad entre la incógnita y las otras magnitudes.
- Manteniendo el número de días constante, a más dinero para gastar podremos alimentar a más personas. La relación de proporcionalidad es directa.
- Manteniendo el dinero a gastar constante, a más número de personas menos días podremos alimentarlas. La relación de proporcionalidad es inversa.
➡ Resolvemos la igualdad planteando las fracciones, teniendo en cuenta que la fracción correspondiente a los días debemos invertirla por presentar relación de proporcionalidad inversa con la incógnita.
➡ Despejamos la incógnita multiplicando en cruz:
Con 12000€ podremos alimentar a 8 personas durante 90 días.
Ejercicio.
Una familia de 5 miembros puede mantenerse durante 8 meses con 500 euros. ¿Cuántas personas podría mantenerse durante 15 meses con 30.000 euros? (Solución: 160 personas).
➡ Primero identificamos las magnitudes (tiempo en meses, nº de miembros, dinero), los datos (8 meses-5 miembros-500€; 15 meses-3000€) y la incógnita (nº de miembros) y los ordenamos en una tabla.
➡ Evaluamos la relación de proporcionalidad entre la incógnita y las otras magnitudes.
- Manteniendo el dinero constante, a más miembros haya en la familia menos tiempo podrán mantenerse. La relación de proporcionalidad es inversa.
- Manteniendo constante el tiempo, a más miembros más dinero necesitaremos. La relación de proporcionalidad es directa.
➡ Resolvemos la igualdad planteando las fracciones, teniendo en cuenta que la fracción correspondiente al tiempo debemos invertirla por presentar relación de proporcionalidad inversa con la incógnita.
➡ Despejamos la incógnita multiplicando en cruz:
Con 30000€ podremos mantener a 160 personas durante 15 meses.
Ejercicio.
Ejercicio. Transportar 200 cajas a 450 km de distancia cuesta 300 euros. ¿Cuántas cajas pueden transportarse a 300 km por 350 euros?
➡ Primero identificamos las magnitudes (distancia-nº cajas-precio), los datos (450 km-200 cajas-300€; 300 km-350€) y la incógnita (nº cajas) y los ordenamos en una tabla.
➡ Evaluamos la relación de proporcionalidad entre la incógnita y las otras magnitudes.
- Manteniendo la distancia constante, más cajas transportemos más dinero (precio) tendremos que pagar. La relación de proporcionalidad es directa.
- Manteniendo el precio constante, a más distancia transportemos las cajas menos cajas podremos transportar La relación de proporcionalidad es inversa.
➡ Resolvemos la igualdad planteando las fracciones, teniendo en cuenta que la fracción correspondiente a la magnitud distancia debemos invertirla por presentar relación de proporcionalidad inversa con la incógnita.
➡ Despejamos la incógnita multiplicando en cruz:
Transportar 350 cajas a una distancia de 300 kg nos costará 350 euros.
Ejercicio.
Cinco grifos llenan un depósito de 20.000 litros en 10 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán ocho grifos iguales a los anteriores en llenar un depósito de 30.000 litros? (Solución: 9 horas 22 minutos 30 segundos).
➡ Primero identificamos las magnitudes (nº de grifos, tiempo en horas y tamaño del depósito en litros), los datos (5 grifos-10 h-20.000 litros; 8 grifos-30.000 litros) y la incógnita (tiempo) y los ordenamos en una tabla.
➡ Evaluamos la relación de proporcionalidad entre la incógnita y las otras magnitudes.
- Manteniendo el número de grifos constante, a mayor tamaño del depósito más tiempo tardaremos en llenarlo. La relación de proporcionalidad es directa.
- Manteniendo el tamaño del depósito constante, a mayor número de grifos menos tiempo tardaremos en llenarlo. La relación de proporcionalidad es inversa.
➡ Resolvemos la igualdad planteando las fracciones, teniendo en cuenta que la fracción correspondiente al número de grifos debemos invertirla por presentar relación de proporcionalidad inversa con la incógnita.
➡ Despejamos la incógnita multiplicando en cruz:
Pasamos el resultado en horas decimales a una medida de tiempo más natural (horas, minutos y segundos).
Tardaremos 9 horas 22 minutos y 30 segundos en llenar un depósito de 30.000 litros utilizando 8 grifos.
Ejercicio.
Dos ruedas están engranadas y tienen 12 y 45 dientes respectivamente. Si la primera da 15 vueltas en 1/5 de minuto, ¿Cuántas vueltas dará la segunda en una hora?
➡ Primero identificamos las magnitudes (magnitud 1, magnitud 2, magnitud 3), los datos (a-b-c-, a’-b’-c’) y la incógnita (b’=x) y los ordenamos en una tabla.
➡ Evaluamos la relación de proporcionalidad entre la incógnita y las otras magnitudes.
- Manteniendo el número de dientes constante, a más tiempo esté girando más vueltas dará. La relación de proporcionalidad es directa.
- Manteniendo el tiempo constante, a más dientes tenga el engranaje menos vueltas dará (ya que aumenta el recorrido). La relación de proporcionalidad es inversa.
➡ Resolvemos la igualdad planteando las fracciones, teniendo en cuenta que la fracción correspondiente a la magnitud 3 debemos invertirla por presentar relación de proporcionalidad inversa con la incógnita.
➡ Despejamos la incógnita multiplicando en cruz:
Una rueda dentada con 45 dientes dará 1200 vueltas si la tenemos girando una hora.
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