La secuencia de trabajo para el cálculo de las razones trigonométricas para resolver estos problemas es:
1) Escribimos la tabla de las razones trigonométricas, y escribimos la razón que nos dan y su inversa
2) Estudiamos los signos para ese cuadrante:
3) En el cálculo de las razones trigonométricas a partir de una de ellas nos podemos encontrar en dos situaciones. Según los datos que nos den, utilizaremos las siguientes fórmulas
- Primer caso: nos dan las razones seno-cosecante o coseno-secante. En este caso sólo necesitamos la ecuación fundamental de la trigonometría.
- Segundo caso: nos dan la tangente-cotangente. En este caso, además de la fórmula anterior necesitaremos una de las siguientes:
Ejercicio 1: Cosec α=2, α pertenece al segundo cuadrante.
1) Escribimos la tabla de las razones trigonométricas, y escribimos la razón que nos dan (cosecante) y su inversa (1/cosecante = seno).
2) Estudiamos los signos para ese cuadrante: la cosecante pertenece al segundo cuadrante, donde el seno es positivo, el coseno negativo y por lo tanto, la tangente negativa.
3) En el cálculo de las razones trigonométricas a partir de una de ellas nos podemos encontrar en dos situaciones. En este ejercicio nos encontramos en el primer caso, ya que nos dan las razones seno-cosecante o coseno-secante. Por lo tanto, tan sólo necesitamos la fórmula general de la trigonometría:
Sustituimos el seno en la fórmula para calcular el coseno.
Como vimos en el paso 2, el coseno en este cuadrante es negativo, así que cogemos el signo -.
Rellenos el coseno y su inversa (secante) en la tabla:
Racionalizamos la secante para eliminar el radical del denominador:
Anotamos en la tabla las dos razones que acabamos de calcular:
Para calcular la tangente dividimos seno entre coseno:
Racionalizamos para eliminar el radical del denominador:
Para calcular la inversa de la tangente (la cotangente) utilizamos la tangente antes de racionalizar.
Ejercicio 2: Tg α=2, α pertenece al tercer cuadrante.
1) Escribimos la tabla de las razones trigonométricas, y escribimos la razón que nos dan y su inversa
2) Estudiamos los signos para ese cuadrante: el seno y el coseno son negativos, así que la tangente es positiva.
3) En el cálculo de las razones trigonométricas a partir de una de ellas nos podemos encontrar en dos situaciones. En este ejercicio nos dan la tangente-cotangente. Por lo tanto, necesitamos la formula general de la trigonometría y la fórmula que relaciona la tangente y la secante:
Sustituimos la tangente en la segunda ecuación:
La secante en el tercer cuadrante es negativa (es la inversa del coseno). Cogemos el signo menos.
Calculamos la inversa de la secante, el coseno.
Racionalizamos para eliminar el radical del denominador:
Rellenamos coseno y secante en la tabla:
Para calcular el seno utilizamos la formula general de la trigonometría.
Como estudiamos en el paso 2, el seno (y la cosecante) en el tercer cuadrante es negativo.
Racionalizamos para eliminar el numerador:
Para calcular la inversa del seno (la cosecante) utilizamos el seno antes de racionalizar:
Terminamos de rellenar la tabla:
Ejercicio 3: Calcula en cada apartado, el resto de razones trigonométricas de α, ángulo de un triángulo rectángulo, si conocemos:
a) cosec α = 1,8 con α ángulo del segundo cuadrante
b) tag α = -1,43 con α ángulo del cuarto cuadrante
c) cos α = -0,65 con α ángulo del tercer cuadrante
No calcules el ángulo con la calculadora.
Este es un ejercicio del libro de texto: MATEMÁTICAS. ENSEÑANZAS ACADÉMICAS 4 º ESO, Editorial Teide, ISBN: 978-84-307-9141-5
Apartado a) cosec α = 1,8 con α ángulo del segundo cuadrante
1) Escribimos la tabla de las razones trigonométricas, y escribimos la razón que nos dan y su inversa
2) Estudiamos los signos para ese cuadrante: la cosecante pertenece al segundo cuadrante, donde el seno es positivo, el coseno negativo y la tangente negativa.
3) En el cálculo de las razones trigonométricas a partir de una de ellas nos podemos encontrar en dos situaciones. En este ejercicio nos encontramos en el primer caso, ya que nos dan las razones seno-cosecante o coseno-secante. Por lo tanto, sólo necesitamos la ecuación fundamental de la trigonometría.
Sustituimos el seno en la fórmula para calcular el coseno.
Como vimos en el paso 2, el coseno en este cuadrante es negativo, así que cogemos el signo -.
Rellenos el coseno y su inversa (secante) en la tabla:
Para calcular la tangente dividimos seno entre coseno, y después calculamos la cotangente
Terminamos de completar la tabla:
Apartado b) tag α = -1,43 con α ángulo del cuarto cuadrante
1) Escribimos la tabla de las razones trigonométricas, y escribimos la razón que nos dan y su inversa
2) Estudiamos los signos para ese cuadrante: el seno es negativo y el coseno negativo, así que la tangente es negativa.
3) En el cálculo de las razones trigonométricas a partir de una de ellas nos podemos encontrar en dos situaciones. En este ejercicio nos dan la tangente-cotangente, así que necesitamos la formula general de la trigonometría y la fórmula que relaciona la tangente y la secante:
Sustituimos la tangente en la segunda ecuación:
La secante en el cuarto cuadrante es positiva (es la inversa del coseno). Cogemos el signo mas.
Calculamos la inversa de la secante, el coseno.
Rellenamos coseno y secante en la tabla:
Para calcular el seno utilizamos la formula general de la trigonometría.
Como estudiamos en el paso 2, el seno (y la cosecante) en cuarto cuadrante es negativo.
Terminamos de rellenar la tabla:
Apartado c) cos α = -0,65 con α ángulo del tercer cuadrante
1) Escribimos la tabla de las razones trigonométricas, y escribimos la razón que nos dan y su inversa
2) Estudiamos los signos para ese cuadrante:
3) En el cálculo de las razones trigonométricas a partir de una de ellas nos podemos encontrar en dos situaciones. En este ejercicio nos encontramos en el primer caso, ya que nos dan las razones seno-cosecante o coseno-secante. Por lo tanto, sólo necesitamos la ecuación fundamental de la trigonometría.
Para calcular el seno utilizamos la formula general de la trigonometría.
Como estudiamos en el paso 2, el seno (y la cosecante) en tercer cuadrante es negativo.
Escribimos las variables en la tabla
Para calcular la tangente dividimos seno entre coseno, y después calculamos la cotangente
Terminamos de rellenar la tabla:
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