Píldoras para secundaria: concepto de función “sin matemáticas”

Los temas de funciones son los que mas odian mis alumnos… Se abordan conceptos (dominio, concavidad, continuidad…) que les resultan complejos. Veamos como imparto este tema en mis clases particulares para que mis alumnos puedan entender las funciones sin utilizar terminología matemática que les abrume. Y si necesitas unos apuntes en pdf, aquí tienes disponibles los de CIDEAC.

Idea intuitiva

A primeros de mes recibes dinero, ya sea tu sueldo, la paga… Según pasa el mes, ¿Cómo es el dinero total? Decreciente. Así, “El dinero es función del tiempo”. Eso es una función, “algo es función de algo”, donde relacionados dos magnitudes (dinero y tiempo).

Idea informal

Una función es una máquina a la que le doy una orden: “Te meto un número, lo tienes que multiplicar por dos y sumarle 5”. A lo que meto en la máquina le llamo x, la orden de la máquina es la función, y lo que me devuelve es y.

A la máquina le meto valores de entrada y me devuelve valores de salida. En medio hay un procesamiento, una orden.

Veamos diferentes tipos de máquinas, es decir, diferentes tipos de funciones.

Función constante

Esta es la máquina (la función) más sencilla:

y = 5

y = constante

Demos de comer a nuestra máquina. Si le damos el valor 0, la máquina nos devuelve el valor 5. Si le damos de comer un 1, la máquina nos devuelve un 5. Si le damos de comer un -1, nos vuelve a dar el número 5.

El fenómeno es constante, no hay cambio. La máquina siempre nos devuelve el mismo valor, independientemente del valor que le metamos, es decir, el valor de x no afecta al valor de y, que siempre es el mismo.

Función lineal

Para la siguiente máquina (función), añadimos una x a la máquina más básica.

y = 5x

y = constante · x

Demos de comer a nuestra máquina.Si le damos de comer un 0, la máquina hace su trabajo y nos devuelve un 0 (y = 5 · 0 = 0). Si le damos de comer un 1, la máquina nos devuelve un 5 (y = 5 · 1 = 5). Finalmente, si le damos de comer un -1 la máquina nos devuelve un -5 (y = 5 · (-1) = -5).

Obtenemos una recta (una línea) que siempre pasa por el origen, ya que cualquier constante por cero da cero, y por lo tanto, si le damos de comer un 0 (x=0), la y siempre será cero.

Función cuadrática

No queremos tener sola a la x, así que para la siguiente máquina (función), añadimos otra x y quitamos la constante.

y = x²

y = x · x

Demos de comer a nuestra máquina y veamos que pasa. Como antes, le damos un 0 y nos devuelve un 0 (y = 0 · 0 = 0). Si le damos de comer un 1, la máquina nos devuelve un 1 (y = 1 · 1 = 1), y si le damos un -1, también nos devuelve un 1 (y = (-1) · (-1) = 1). Demos un par de valores más a la máquina, para ver de una manera más clara que pasa. Si le doy un 2, me devuelve un 4 (y = 2 · 2 = 4), y si le doy un -2, también me devuelve un 4 (y = (-2) · (-2) = 4). Obtenemos una parábola.

¿Y si le añadimos un número a nuestra máquina?

y = 5x²

y = 5 · x · x

Si le damos un 0, la máquina nos devuelve otro 0 (y = 5 · 0 · 0 = 0). Si le damos un 1 (x=1), la máquina nos devuelve un 5 (y = 5 · 1 · 1 = 5), al igual que si le damos un -1 (y = 5 · (-1) · (-1) = 5). Si le damos de comer un 2, nos devuelve un 20 (y = 5 · 2 · 2 = 20), lo mismo que si le damos de comer un -2 (y = 5 · (-2) · (-2) = 20). Obtenemos otra parábola, pero esta es “más apretada”. Es decir, el número, el coeficiente que acompaña a la x, nos modificado el grado de curvatura de la parábola.

¿Y si el número es negativo?

y = -5x²

y = -5 · x · x

Si le damos un 0, la máquina nos devuelve otro 0 (y = 5 · 0 · 0 = 0). Si le damos un 1 (x=1), la máquina nos devuelve un- 5 (y = -5 · 1 · 1 = -5), al igual que si le damos un -1 (y = -5 · (-1) · (-1) = -5). Si le damos de comer un 2, nos devuelve un 20 (y = -5 · 2 · 2 = -20), lo mismo que si le damos de comer un -2 (y = -5 · (-2) · (-2) = -20). Obtenemos una parábola como la anterior, pero hacia abajo. Así, el coeficiente de la x nos marca su grado de curvatura y hacia donde se abre:

f(x) = ax²

Si a > 0: la parábola se abre hacia arriba.

Si a < 0: la parábola se abre hacia abajo.

Función cúbica

Añadamos otra x a nuestra máquina.

y = x³

y = x · x · x

Pues como siempre, alimentemos nuestra máquina, nuestra función. Si le damos de comer un 0, la máquina nos devuelve un 0 (y = 0 · 0 · 0 = 0). Si le damos un 1, la máquina nos devuelve un 1 (y = 1 · 1 · 1). Si le damos un -1, la máquina nos devuelve un -1 (y = (-1) · (-1) · (-1) = (-1)). Si le damos un 2, la máquina nos devuelve un 8 (y = 2 · 2 · 2 = 8). Si le damos de comer un -2, la máquina nos devuelve un -8 (y = (-2) · (-2) · (-2) = (-8)).

¿Y si añadimos una constante? Al igual que ocurría con la función cuadrática, la constante nos modifica que de “apretada” esté la gráfica, o hacia “dónde apunta”.

Hipérbola

¿Somos conscientes de que hasta ahora hemos estado trabajando con monomios? Recordemos la nomenclatura del monomio típico:

axⁿ

Repasemos los ejemplos anteriores:

• Función constante: y = 5 ( 5 · x⁰ = 5 · 1 = 5).
• Función lineal: y = 5x
• Función cuadrática: y = x²
• Función cúbica: y = x³

Construyamos nuestra última máquina. Si ya hemos estado con potencias (con monomios), deberíamos de añadir alguna fracción a nuestra lección.

y = 1/x

Pues como en los casos anteriores, demos alimento a nuestra máquina, nuestra función. Si le doy de comer un 0, ¿Qué pasa? Que la máquina se rompe, no está diseñada para eso. NO SE PUEDE DIVIDIR ALGO ENTRE CERO, y por lo tanto, si le doy esa orden a la máquina, no me devuelve nada. Esta es la idea intuitiva de dominio, lo veremos con más detalle en otra entrada.

Vale, pues el 0 no puede ser un valor de entrada. Pruebo con un 1, y en ese caso si, la función ya me devuelve algo, otro 1 (y = 1 : 1 = 1). Si le doy de comer un -1, me devuelve un -1 (y = 1 : (-1) = (-1)). Si le doy de comer un 2, me devuelve 0,5 (y = 1 : 2 = 0,5), y si el valor de entrada es un -2, me devuelve un -0,5 (y = 1 : (-2) = (-0,5)).

¿Y si le doy un valor de entrada de 0,5? Me devuelve un 2 (y = 1 : 0,5 = 2). ¿Y si le doy de comer un valor de 0,1? Me devuelve un 10 (y = 1 : 0,1 = 10). Así, cuanto más pequeño sea el valor que yo le de en la x, mayor valor toma la y.